曲線座標系のベクトル解析と微分形式

はじめに

Wathematicaアドベントカレンダー12/19担当のY・Yです。
ベクトル解析で用いられるガウスの法則やストークスの法則、ベクトル解析の最大の応用先とも言える電磁気学などは、微分形式を用いた方が統一的に表すことが出来る、というのはかなり有名な話です。例えば、 $\mathbb{R}^3$ のベクトル場の発散 $div \vec{A}$ は、2-formの外微分として捉えることが出来ます。しかし、実用上はユークリッド座標だけでなく、極座標その他の直交曲線座標で考えることも多いです。また、一般相対論では、曲がった時空上にMaxwell方程式は拡張されます。この時、ベクトル場の微分はどのように変換されるのか、というのが今回の主題です。

おことわり

この記事は、物理的なモチベーションで書かれているので、数学的に厳密とは言えない話が続くことがあります。

はじめに
- おことわり
ホッジ双対
- ユークリッド空間の場合のホッジ双対
- 極座標でのホッジ双対
外微分とベクトル解析
重力中のMaxwell方程式
参考文献

ホッジ双対

$n$ 次元微分多様体では、 $p$ -form全体のなすベクトル空間 $\Omega^p$ と $\Omega^{n-p}$ は同じ次元になります。リーマン多様体の場合、
$\star:\Omega^p\rightarrow \Omega^{n-p}$
なる線形写像をうまく定義することが出来ます。

ユークリッド空間の場合のホッジ双対

まずは、最も簡単なユークリッド空間にホッジ双対をどう定義するかを見ていきましょう。
$\mathbb{R}^n$ でのホッジ双対は
$\star(dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge \dots \wedge dx^{i_p})=sgn\begin{pmatrix}\begin{array}{lll}1&\dots&n\\i_1&\dots&i_n\end{array}\end{pmatrix}dx^{i_{p+1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_n}$
によって定義されます。
例えば、 $\mathbb{R}^3$ では、
$\star 1=dx\wedge dy\wedge dz$
$\star dx = dy \wedge dz$
等が成立します。
また、一般のp-form $\alpha$ に対し、
$\star\star\alpha=(-1)^{p(n-p)}\alpha$
が成立します。

極座標でのホッジ双対

上で述べたホッジ双対の定義は基底に依存するものですが、実は互いに向きが同じ正規直交基底に対しては、上の定義はwell-defined になっています。*1
さて、3次元極座標を用いたとき、基底ベクトル
$\frac{\partial}{\partial r},\frac{\partial}{\partial \theta},\frac{\partial}{\partial \varphi}$
は正規直交基底ではありませんが、計量が
$g=\begin{pmatrix}\begin{array}{lll}1&&\\&\frac{1}{r^2}&\\&&\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\end{array}\end{pmatrix}$
と対角型であるため、
$dx^1=dr$
$dx^2=rd\theta$
$dx^3=r\sin\theta d\varphi$
は正規直交基底になり、上の定義を適用できます。また、線形性を使うと、
$\star(dr\wedge rd\theta\wedge r\sin\theta d\varphi)=1$
より
$\star(dr\wedge d\theta\wedge d\varphi)=\frac{1}{r^2\sin\theta}\big(=\frac{1}{\sqrt{g}}\big)$
という関係が分かります。ここで出てきた $r^2\sin\theta$ はベクトル解析では「体積要素」と呼ばれます。（要するにヤコビアンなのですが）
同様の計算により、
$\star(dr)=r^2\sin\theta d\theta \wedge d\varphi$
$\star(d\theta)=\sin\theta d\varphi \wedge dr$
$\star(d\varphi)=\frac{1}{\sin\theta} dr\wedge d\theta$
となります。ここで出てきた右辺の各係数は、面積要素と呼ばれます。

外微分とベクトル解析

外微分

念のため、外微分について簡単に書いておきます。（詳しくは他の文献を参照してください）
外微分は微分形式に対して定義される微分でp-form $A=\sum_{I}A_Idx^I$ （ただし、 $I=(i_1,i_2,i_3\dots i_p)$ )の外微分は
$dA=\frac{\partial}{\partial x^i}A_I dx^i\wedge dx^I$
と計算できます。

スカラー場の勾配

スカラー場 $\phi(\vec{x})$ の勾配ベクトルは、1-form $d\phi$ に対応するベクトル(1-formを共変ベクトルだと思ったときの反変ベクトル) $g(d\phi,\cdot)$ です。極座標系では
$grad\phi=g^{ij}\frac{\partial\phi}{\partial x^j}\frac{\partial}{\partial x^i}=\frac{\partial\phi}{\partial r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial\phi}{\partial \theta}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial\phi}{\partial \varphi}\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \varphi}$
となります。

ベクトル場の湧き出し

p-form $\alpha$ に対し、余微分を
$\delta \alpha \equiv (-1)^{n(p+1)+1}\star d\star\alpha$
で定義します。
ベクトル場 $\tilde{A}(\vec{x})$ に双対な1-form $A$ に対して、
$-\delta A=\star d \star A$
は0-form、つまりスカラー量を返す演算になっていて、ユークリッド座標で計算すると、 $div\tilde{A}$ に一致することが分かります。
極座標系では、物理の慣習に倣い正規直交基底で
$\tilde{A}=A_r\frac{\partial}{\partial r}+A_\theta\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}+A_\varphi\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \varphi}$
と書くと、
$A=A_rdr+A_\theta rd\theta+A_\varphi r\sin\theta d\varphi$
となり、先ほどの極座標のホッジ双対のルールに気を付けると
$div\tilde{A}=\star d\star A=\frac{1}{r^2\sin\theta}\big\{\frac{\partial}{\partial r}(r^2\sin\theta A_r)+\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta rA_\theta)+\frac{\partial}{\partial \varphi}\big(\frac{1}{\sin\theta} r\sin\theta A_\varphi\big)\big\}$
となります。*2 $rot \tilde{A}$ も、1-form $\star dA$ に対応するベクトル場を求めればよいことが分かるのですが、今回は割愛します。

ラプラシアン

p-formに対するLaplacianは先ほどの余微分を用いて
$\triangle \equiv -(\delta d+d\delta)$
で定義されます。(Laplace-De Rham作用素）（符号は物理に合わせました。）
とりあえず今回は0-formに関してだけ考えるとすると、
$\triangle f=\star d\star f=\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial x}f+\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial}{\partial y}f+\frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial}{\partial z}f$
となり、ユークリッド座標ではちゃんとよく知るラプラシアンの表式が出てきます。
気持ちとしては、
$\Omega^0\xrightarrow{d}\Omega^1\xrightarrow{\star}\Omega^2\xrightarrow{d}\Omega^3\xrightarrow{\star}\Omega^0$
という風に演算を作用させています。
極座標では、
$\triangle f=\frac{1}{r^2\sin\theta}\big\{\frac{\partial}{\partial r}(r^2\sin\theta \frac{\partial}{\partial r})+\frac{\partial}{\partial\theta}\big(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\big)+\frac{\partial}{\partial \varphi}\big(\frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \varphi}\big)\big\}f$
となり、極座標形式のラプラシアンが求まりました。*3

重力中のMaxwell方程式

$(\star A)\\mu$ と $A^\mu$ の関係

ここで、一般のリーマン多様体の直交曲線座標系で $\star A$ を成分表示しておこうと思います。1-formについては
$\begin{align*} \star A &=\star(A_\mu dx^\mu)=\sum_\mu \frac{\sqrt{g}}{\sqrt{g_{\mu\mu}}}A_\mu dx^1\wedge\dots\wedge\widehat{dx^\mu}\wedge\dots\wedge dx^n\\ &=\sum_\mu \sqrt{g}A^\mu dx^1\wedge\dots\wedge\widehat{dx^\mu}\wedge\dots\wedge dx^n \end{align*}$
となります（Einsteinの縮約とそうでない項があるのはすみません）ここで、 $\widehat{dx^\mu}$ は $dx^\mu$ を除いたことを意味します。同様に2-formについても
$\star F=\sqrt{g}F^{\mu\nu} dx^1\wedge\dots\wedge\widehat{dx^\mu}\wedge\dots\wedge\widehat{dx^\nu}\wedge\dots\wedge dx^n$
が成立します。*4

4次元微分形式を用いたMaxwell方程式

ミンコフスキー空間では
$F=F_{\mu\nu} dx^\mu\wedge dx^\nu=E_x dx^0\wedge dx^1+E_y dx^0\wedge dx^2+E_z dx^0 \wedge dx^3+B_z dx^1\wedge dx^2+B_x dx^2\wedge dx^3+B_y dx^3\wedge dx^1$
および
$j=j_\mu dx^0\wedge\dots\wedge\widehat{dx^\mu}\wedge\dots\wedge dx^4$
を用いて、Maxwell方程式は
$dF=0$
$d\star F =\frac{4\pi}{c}j$
と書けます。*5
微分形式で書けたことの嬉しさの一つとして、座標系に依存しない方程式になっていることがあげられます。すなわち、この式は曲がった時空へとそのまま拡張できます。（重力場中も局所慣性系を取ることが出来るため。）このときの成分表示を調べてみましょう。

曲がった時空におけるMaxwell 方程式

Maxwell方程式の第１式は $F_{\mu\nu}$ についてのビアンキ恒等式を示したもので、これは成分表示しても曲がった時空でもミンコフスキー時空でも変わりません。問題は第2式です。
$j$ に対応するベクトル場 $\tilde{j}$ と3-form $j$ の関係は
$j=\star(g(\tilde{j},\cdot))$
であるから、上で導いた公式より、 $\mu>\nu$ のときMaxwell方程式の第2式は
$\frac{\partial}{\partial x^\mu}\sqrt{-g}F^{\mu\nu} dx^1\wedge\dots\wedge\widehat{dx^\nu}\wedge\dots\wedge dx^n=\frac{4\pi}{c}\sqrt{-g}j^\nu dx^1\wedge\dots\wedge\widehat{dx^\nu}\wedge\dots\wedge dx^n$
となります。 $\mu<\nu$ の時は左辺の符号が逆になりますが、 $F^{\mu\nu}=-F^{\nu\mu}$ というテンソルとして考えると成立します。成分だけ取り出すと、
$\frac{\partial}{\partial x^\mu}\sqrt{-g}F^{\mu\nu}=\frac{4\pi}{c}\sqrt{-g}j^\nu$
となり、共変微分に関する公式
$\nabla_\mu F^{\mu\nu}=\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\partial}{\partial x^\mu}\sqrt{-g}F^{\mu\nu}$
を用いると、
$\nabla_\mu F^{\mu\nu}=\frac{4\pi}{c}j^\nu$
となり、曲がった時空におけるマクスウェル方程式を導くことが出来ました。

参考文献

1)本間泰史(2022),多様体論II(幾何学B2授業ノート）
2)坪井俊(2008),幾何学III 微分形式.東京大学出版
3)小林昭七(1989),接続の微分幾何とゲージ理論,裳華房
4)高間俊至(2023),微分幾何学ノート
event.phys.s.u-tokyo.ac.jp
5)エリ＝デ＝ランダウ・イェ＝エム＝リフシッツ著,恒藤俊彦・広重徹訳（1978）,場の古典論原書第6版,東京図書
6)松尾衛(2019)相対論とゲージ場の古典論をかみ砕く-ゲージ場の量子論を学ぶ準備として-,現代数学社
7)谷村省吾(数理科学2023年8月号)「微分形式と電磁気学」,サイエンス社
8)北野正雄（数理科学2023年5月号)「電磁気と数学」,サイエンス社

*1:基底を用いない定義もありますが、今回は省略します。

*2:ベクトル解析の教科書では、体積要素と面積要素の幾何学的意味を考えることでこの式を導出していたりします。実際計算するのにはこの方が速いですが、幾何学的な意味が分かると微分形式に対する理解も深まるので、知っておくとよいです。

*3:ここまでくると、極座標ラプラシアンの一見ややこしく見える各項の係数は、単なるホッジ双対をとったときの係数であることが分かります。

*4:これらは一般相対論の本で「ベクトル密度」や「テンソル密度」と呼ばれているものとほとんど同じ(?)です。

*5:これについては参考文献[6][7][8]などをご覧ください。